第四章 數(shù)理方法

　　第一部分 概率基礎

　　一、概率與隨機變量的含義、計算和原理

　　1、事件和概率

　　隨機試驗：進行試驗時，會出現(xiàn)什么結(jié)果，是不確定的。

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　　樣本點：每一種可能的結(jié)果。

　　樣本空間：全體樣本點集合。

　　(撲克牌數(shù)字、花色)

　　事件：樣本空間(可測)子集。

　　2、集合、事件與概率

　　概率：對某個事件發(fā)生可能性的度量。

　　最基礎的事件運算：子事件、事件并(和)、事件交(積)、事件補(余事件)。

　　(1)概率主觀定義。依據(jù)各自的經(jīng)驗和自信，對于事件A發(fā)生的可能性有不同的看法，分別給出的估計概率。

　　(2)概率的公理化定義。

　　樣本空間s上的概率測度P滿足以下概率公理：

　　①對于任意的事件A 屬于S，0≤P(A)≤1，表示一個事件的概率必定在0和1之間;

　?、赑(S)=1，表示樣本空間s包含所有可能的結(jié)果，事件s的概率應該為1;

　?、廴绻麑τ谌我獾膇≠j，Ai∩Aj=Φ(空集)

　　那么P(A1 ∪A2∪…)=P(A1)+ P(A2)+…，表示如果事件A和事件B不相交，那么它們并集的概率等于兩個事件概率和。(和的概率等于概率之和)

　　3、條件概率與事件獨立。

　　在給定事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率記為P(A / B)。

　　如果說事件A和事件B是相互獨立的，則

　　P(A/B)=P(A)，表示事件B的發(fā)生對事件A發(fā)生的機會不產(chǎn)生任何影響。

　　如果P(A∩B)=P(A/B)P(B)=P(A)P(B)，我們說事件A和事件B是相互獨立的。否則，我們說事件A和事件B是相互依賴的。

　　例題：考慮擲骰子的試驗。樣本空間S是六個樣本點，出現(xiàn)點數(shù)為1的概率，記為集合A={1}，則P(A)=1/6。但是，如果考慮奇數(shù)點出現(xiàn)的條件下點數(shù)1出現(xiàn)的概率，則在給定信息影響下，使得樣本空間從S={1，2，3，4，5，6}縮小到B={1，3，5}，此條件概率記為P(A丨B)=1/3。

　　4、隨機變量和概率分布

　　隨機變量：是從樣本空間到實數(shù)集的一個函數(shù)，一般用大寫字母表示，它的取值用小寫字母表示。(取值隨機會而定的變量)

　　(1)離散隨機變量及其概率分布函數(shù)。設隨機變量X取值為有限個或者可數(shù)多個值，則：

　　P(X=xi)=pi i=i，2，…，n

　　稱為隨機變量X的(概率)分布。

　　(2)連續(xù)隨機變量與概率密度函數(shù)。

　　概率分布函數(shù)：隨機變量取值范圍在一個區(qū)間或者整個實數(shù)軸。

　　設X是隨機變量，其值小于等于x的事件{X≤x}發(fā)生概率用F(x)表示，我們稱F(x)=P(X≤x)為隨機變量X的分布函數(shù)。某個連續(xù)的隨機變量X的概率密度函數(shù)滿足的三條性質(zhì)：

　　1)對于所有的x∈R，有f(x)≥0;

　　5、常用分布。在金融模型中，常見的分布包括二項分布、正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、t分布和F分布。

　　(1)二項式分布。B(n，P)。其中n和P是兩個參數(shù)， n是正整數(shù)，0≤p≤1。

　　考慮一個僅有兩個結(jié)果的試驗，比如價格上漲或下跌，隨機變量X的值為0或1。隨機變量X服從貝努利分布的假設為 P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，這里0≤p≤1

　　如果X1，X2，...，Xn是相互獨立，且服從貝努利分布，那么是一個取值為0，1，2，…，n的離散的隨機變量。

　　6、隨機變量的數(shù)字特征(隨機變量的矩)

　　(1)數(shù)學期望。一般地，如果X是一個離散的隨機變量，它的分布為

　　P(X=xi)=pi,i=1,2,…n…,它的期望值為

　　即是X的期望值是它的所有可能的取值的加權平均，其權數(shù)是它取該值的概率。

　　(3)方差(二階中心距)與標準差。

　　如果r=2，E[(X-μ)2]被稱為X的分布的方差或 x的方差。常常記它為σ2或var(X)。

　　σ2的正平方根σ被稱為x的標準差，反映了隨機變量波動程度的量(衡量風險的大小)。關于方差，常用公式：

　　(4)偏度與峰度。

　　1)偏度。使用3階中心矩度量X關于其均值的對稱性衡量分布是否有偏(用來描述隨機變量的對稱程度)

　　如果X的概率密度函數(shù)關于期望值是對稱的，比如正態(tài)分布，μ3=E[X—E(X)]3=0是無偏的 ,對于u3>0，說明分布是正偏或者右偏，反之為負偏或者左偏。

　　偏度系數(shù)：

　　負的偏度系數(shù)，揭示了分布有很長的左尾(概率)，反映了出現(xiàn)大負值的概率高。如果組合資產(chǎn)的收益率分布是負(左)偏的，則出現(xiàn)巨額損失的概率增加。

　　2)峰度

　　常使用4階中心矩用于度量X的尾部特性，也衡量分布在均值附近的陡峭程度，如果x取值在概率上集中在均值附近，則u4 將傾向于小，否則就傾向于大。

　　峰度系數(shù)為β2=u4/u22

　　超額峰度 =β2-3

　　正態(tài)分布的峰度=3

　　正態(tài)隨機變量的超額峰度=0。

　　厚尾：分布有正的超額峰度(峰度>3)，意味著來自于這樣一個分布的隨機樣本會有更多的極端值，故稱這樣的分布為尖峰的。

　　輕尾：具有負的超額峰度的分布(峰度<3)，也稱為低峰的。

　　(5)契比雪夫定理(不等式)。

　　隨機變量和它的均值的差的絕對值超過它的標準差K倍的概率小于1/K2

　　該定理給出了任一隨機變量取值的界限。在判斷程序化投機(趨勢)交易或者價差(套利)交易中觸發(fā)條件的發(fā)生概率較為有效。

　　例題：下列關于正態(tài)分布的結(jié)論哪個是不正確的?

　　A.峰度為3.

　　B.偏度為1.

　　C.整個分布特性可由均值和方差描述。

　　D.正態(tài)分布的密度函數(shù)表示如下：

　　答案：B

　　二、多元分布函數(shù)及其數(shù)字特征

　　(用于分析組合資產(chǎn)的收益率)

　　1、 多元分布函數(shù)

　　聯(lián)合累計分布函數(shù)：

　　X和Y是相互獨立的，當且僅當：f(x,y)=g(x)h(y)

　　2、多元分布函數(shù)的數(shù)字特征

　　(1)協(xié)方差。(X,Y的二階混合中心距)

　　σXY，或COV(X,Y)

　　σXY=E[(X-EX)(Y-EY)]=E[XY]-E[X]E[Y]

　　是XY之間相關性的一個測度。如果X和Y是相互獨立的，那么cov(X，Y)=0。

　　(2)相關關系。

　　PXY的取值一定在-1和1之間。如果X和Y是相互獨立的，那么PXY=0。相關系數(shù)是在計量經(jīng)濟學中使用回歸分析技術時必須使用的工具。

　　(3)協(xié)方差矩陣。

　　描述多元隨機變量。一個隨機向量的期望值等于它的各個分量的期望值組成的向量。

　　隨機向量X的協(xié)方差矩陣如下：

　　例題：給定隨機變量X、Y，常數(shù)a、b、c、d，下列哪個結(jié)論是錯誤的。

　　A.若x和Y是相關的，則E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+c

　　B.若x和Y是相關的，則Var(ax+by+c)=Var(ax+by)+c

　　C.若x和Y是相關的，則Cov(ax+by,cx+dy)=acVar(X)+bdVar(Y)+(ad+bc)Cov(x，Y)

　　D.若x和Y是不相關的，則Var(x-y)=Var(x+y)

　　=Var(x)+Var(y)

　　答案：B Var(ax+by+c)=Var(ax十by)= 2a Var(x)+ 2b VAR(y)+ 2ab Cov(x,y)。

　　解析：

　　Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2Cov(x，y)

　　Var(x-y)=Var(x)+Var(y)-2Cov(x，y)

　　x和Y是不相關的，Cov(x，y)=0，所以兩者相等。

　　三、隨機變量的函數(shù)

　　1、隨機變量的線性組合。

　　對于以人民幣計價的投資組合中現(xiàn)金為1 000萬元，組合中美元資產(chǎn)為1 000萬美元，美元匯率為X，其均值為0.01，標準差為0.001，這個組合可以被表示為Y=a+bX，其期望、方差和標準差分別為：

　　E(a+bX)=a+bE(X)，

　　var(a+bX)=b2var(X)，

　　y的均值：E(Y)=E(1+1 000X)

　　=1+1 000×0.01=11

　　y的標準差=1 000×0.001=1

　　隨機變量線性組合的方差：

　　2、隨機變量的加權和

　　如果a'=(a1, a2,..., an)是常數(shù)向量，那么有：

　　如果a是資產(chǎn)組合的權重，μ是資產(chǎn)組合收益率，σ是資產(chǎn)組合波動率，上述結(jié)果就是資產(chǎn)組合收益率的期望和方差的計算公式，可用于計算組合風險價值。

　　3、隨機變量的積

　　隨機變量乘積Y=X1Y2，其期望為：

　　E(X1X2)=E(X1)E(X2)+Cov(X1，X2)

　　當這些變量相互獨立時，乘積期望就是均值的積。

　　4、隨機變量變換(函數(shù))的分布。

　　假設X是一個連續(xù)隨機變量，概率密度函數(shù)為f(x)，g(x)是一個單調(diào)函數(shù)，那么Y=g(X)是一個新的隨機變量。我們把x表述成y的函數(shù)為X=W(y)，那么y的概率密度函數(shù) h(y)為：

　　四、對數(shù)正態(tài)分布等統(tǒng)計分布的特征和計算

　　(用于進行高頻金融數(shù)據(jù)的分析)

　　1、對數(shù)正態(tài)分布與三大統(tǒng)計分布

　　(1)對數(shù)正態(tài)分布。 (期權定價模型)

　　如果一個隨機變量x的對數(shù)形式Y(jié)=ln(X)是正態(tài)分布，則可以稱這一變量服從對數(shù)正態(tài)分布。

　　如果資產(chǎn)的對數(shù)收益率是獨立同分布，且都正態(tài)分布，那么在此假定下，簡單收益率是獨立同分布的對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量，均值和方差分別為：

　　反之，假設簡單收益率Rt服從對數(shù)正態(tài)分布，均值為m1，方差為m2，則對應的對數(shù)收益率rt的均值和方差分別為：

　　(2)卡方(χ2)分布。

　　一個標準正態(tài)隨機變量的平方服從自由度為1的χ2分布。即如果Z~N(0,1)，那么Z2~ χ2(1)。如果Z1，Z2，…，Zn是相互獨立的標準正態(tài)分布，那么

　　F的概率密度函數(shù)可通過變量替換方法得到，它是非負的，且偏向右邊凸起。

　　例題：有著相同均值和標準差的正態(tài)分布和t分布，下列哪個結(jié)論正確?

　　A.它們有著相同的峰度

　　B.t分布有著更大的峰度

　　C.隨著自由度增加，t分布的峰度逐漸收斂到正態(tài)分布峰度

　　D.當自由度相對較小的時候，對t分布而言，正態(tài)分布是一個較好的近似估計

　　答案：C

　　2、尾概率分布特點

　　極值理論(EVT)——x超過某個閥值點U的極限分布服從以下分布族：

　　F(y)=1-exp(-y)，ξ=0

　　當y=(x-u)/β時。簡單而言就是通過刻度(Scale)參數(shù)β和形狀(Shape)參數(shù)ξ確定，其中參數(shù)ξ決定了尾概率中尾巴趨于零(消失)的速度。

　　正態(tài)分布對應于ξ=0，則尾巴概率以指數(shù)速度消失(趨于0)。但是，經(jīng)典的金融數(shù)據(jù)，基本都有ξ>0，這就是著名的厚尾(肥尾或者重尾)現(xiàn)象。

　　極值理論在風險管理(即VaR，Value at Risk 風險價值)中具有非常重要的影響。

　　第二部分 統(tǒng)計基礎

　　統(tǒng)計推斷問題：由總體抽取一個樣本(樣本大小為n)來推知總體的某一性質(zhì)。

　　a、可信度：有多大把握說明統(tǒng)計推斷結(jié)論

　　b、精度：在區(qū)間估計中可信度依賴區(qū)間的長度

　　影響統(tǒng)計推斷的基本因素包括：樣本大小、總體的波動規(guī)律(分布)、我們希望的可靠程度(置信水平)。

　　五、總體、樣本和統(tǒng)計量的含義

　　1.總體與樣本

　　總體(母體)：研究對象的全體，稱為 X

　　個體：組成總體的每個成員

　　總體分布函數(shù)：X的分布函數(shù)

　　數(shù)理統(tǒng)計方法實質(zhì)上是由局部來推斷整體的方法，即通過一些個體的特征來推斷總體的特征。

　　2.統(tǒng)計量。

　　(1)樣本均值：

　　用來估計總體的均值：μ

　　(2)樣本方差：

　　用于估計總體方差 ：σ2

　　六、統(tǒng)計推斷參數(shù)估計

　　1、點估計

　　使用樣本數(shù)據(jù)以及一些非樣本的先驗信息為未知參數(shù)提供一個估計值。

　　設(X1,X2，…，Xn。)是來自總體x的樣本， θ是總體的未知參數(shù)，若用一個統(tǒng)計量

　　點估計方法：矩估計和最大似然估計

　　(1) 矩估計法。用樣本的各階原點矩去估計對應的各階總體的原點矩。

　　(2)最大似然估計

　　最大似然估計的基本思想是：當從模型總體中隨機抽取凡組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應該使得從模型中抽取該n組樣本觀測值的概率最大。

　　(3)求置信區(qū)間的一般步驟：

　　1)先求出θ的一個點估計(通常為最大似然估計)

　　七、統(tǒng)計推斷的假設檢驗

　　1、假設檢驗問題與假設檢驗的處理思路。

　　(1)假設檢驗問題提出。

　　程序化交易的某個交易策略，選擇過去連續(xù)100天模擬交易結(jié)果，按天統(tǒng)計勝率為56%，需要判斷如下假設：勝率大于50%。如果不考慮盈虧比例，是否需要采用該策略進行真實交易?這就是一個假設檢驗的問題。

　　基于樣本判定一個關于總體分布的理論假設是否成立就是假設檢驗。其基本思想是當觀察到的數(shù)據(jù)差異達到一定程度時，就會反映與總體理論假設的真實差異，從而拒絕理論假設。

　　如果提出一種想法(Hypotheses)，我們希望檢驗這種想法是否正確。這種想法或假設稱為“原假設”(也稱為零假設)，記為H0(零表示所提想法沒有改變或沒有差別)。

　　一般零假設是經(jīng)過長期檢驗被認為是正確的，在現(xiàn)在的新情況希望檢驗它是否仍然正確，所以H0不應輕易被否定。

　　(2)假設檢驗基本思路。

　　檢驗統(tǒng)計量是統(tǒng)計檢驗的重要工具，其功能在用之于構(gòu)造觀察數(shù)據(jù)與期望數(shù)之間的差異程度。

　　否定論證是假設檢驗的重要推理方法，其要旨在：先假定原假設成立，如果導致觀察數(shù)據(jù)的表現(xiàn)與此假定矛盾，則否定原假設。通常使用的一個準則是小概率事件的實際推斷原理。

　　2、兩類錯誤概率。

　　第一類錯誤(概率)即原假設成立，而錯誤地加以拒絕(的棄真概率);

　　第二類錯誤(概率)即原假設不成立，而錯誤地接受它(的取偽概率)。

　　在使用模型的決策會產(chǎn)生兩類錯誤，第一類錯誤是拒絕一個正確的模型，第二類錯誤是接受一個錯誤的模型。

　　3、顯著水平。

　　理想的檢驗規(guī)則是使得棄真概率(a)和取偽概率(β)都很小，但是，如果樣本容量給定，犯兩類錯誤的概率不可能同時小，通常一個減小，另一個就會增加，只有增加樣本容量，才能使他們同時減小。

　　奈曼-皮爾森 (Neyman—Pearson)原則：在控制棄真概率(a)的條件下，使得取偽概率(β)盡量小，有時把原則簡化為控制第一類錯誤的概率a。

　　在收集數(shù)據(jù)之前假定一個準則，在原假設成立條件下，樣本落入拒絕域的概率不超過事先設定的 ，則稱該拒絕域所代表的檢驗為顯著水平α的檢驗，而α稱為顯著水平。

　　所謂顯著水平檢驗就是控制第一類錯誤概率的檢驗。

　　4、假設檢驗的數(shù)學概念。

　　假設檢驗需要顯著性水平(定義的小概率)，依據(jù)這個小概率，確定否定H0的空間——拒絕域，利用樣本計算的統(tǒng)計量落在了拒絕域，就說明小概率事件發(fā)生了，這時對于H0的否決就是顯著的。

　　5、假設檢驗的基本步驟

　　(1)根據(jù)實際問題的要求，提出原假設H0，及備擇假設H1;

　　(2)給定顯著性水平α以及樣本容量n;

　　(3)確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域的形式;

　　(4)按P值{當H0為真拒絕H0}≤α求出拒絕域;

　　(5)取樣，根據(jù)樣本觀察值作出決策，是接受H0，還是拒絕H0。

　　例題：假設檢驗在5%顯著性水平意味著(　　)。

　　A.P(接受H0丨H0為真)=0.05%

　　B.P(接受H0丨H0為假)=0.05%

　　C.P(拒絕H0丨H0為真)=0.05%

　　D.P(拒絕H0丨H0為假)=0.05%

　　答案：C

　　例題：下面哪個關于假設檢驗的論述是不正確的?

　　A.第二類錯誤指在原假設錯誤時，未能拒絕原假設的錯誤

　　B.假設檢驗是依據(jù)來自某總體的樣本計算的統(tǒng)計量，推斷總體參數(shù)

　　C.在其他條件相同的時候，降低犯第一類錯誤的代價是增加犯第二類錯誤的概率

　　D.對于P值決策規(guī)則，就是說如果p值大于顯著性水平，則拒絕原假設

　　答案：D

　　解析：當所觀察到的p值低于(不高于)顯著性水平時，我們可以拒絕原假設。

　　第三部分 回歸分析

　　在經(jīng)濟和金融分析中，經(jīng)常要對變量之間的相互關系進行分析，回歸分析是分析變量之間關系的一種重要分析方法。

　　只有一個解釋變量的線性回歸分析稱一元線性回歸分析，含有多個解釋變量的線性回歸分析稱多元線性回歸分析。

　　回歸分析作為有效方法應用在經(jīng)濟或者金融數(shù)據(jù)分析中，具體遵循以下步驟：

　　第一步，模型設定;

　　第二步，參數(shù)估計;

　　第三步，模型檢驗;

　　第四步，模型應用。

　　八、一元回歸模型的含義和特征

　　1、相關關系分析

　　變量和變量之間通常存在兩種關系：確定性函數(shù)關系和相關關系。

　　確定性函數(shù)關系表示變量之間存在一一對應的確定關系;

　　相關關系表示一個變量的取值不能由另外一個變量唯一確定，即當變量X取某一個值時，變量Y對應的不是一個確定的值，而是對應著某一種分布，各個觀測點對應在一條直線上。

　　分析兩個變量之間的相關關系，通常通過觀察變量之間的散點圖和求解相關系數(shù)的大小來度量變量之間線性關系的相關程度。

　　補充知識：通過散點圖看相關關系

　　線性相關：變量之間的關系近似地表現(xiàn)為一條直線

　　非線性相關或者曲線相關：變量之問的關系近似地表現(xiàn)為一條曲線

　　完全相關：如果一個變量的取值完全依賴于另一個變量，各個觀測點落在一條直線上

　　無相關關系：兩個變量的觀測點很分散，無任何規(guī)律。

　　相關系數(shù)的計算公式：

　　相關系數(shù)r的取值范圍為：-1≤r≤1。

　　當 l r l 越接近于1時，表示兩者之間的相關關系越強;

　　當 l r l 越接近于0時，表示兩者之間的相關關系越弱。

　　當r>0時，表示兩者之間存在正向的相關關系;

　　當r<0時，表示兩者之間存在負向的相關關系;

　　當r=0時，并不表示兩者之間沒有關系，而是兩者之間不存在線性關系。

　　2、 一元線性回歸模型的基本假定

　　yi稱為因變量或被解釋變量，xi稱為自變量或解釋變量;ui是一個隨機變量，稱為隨機(擾動)項;a和β是兩個常數(shù)，稱為回歸參數(shù);下標i表示變量的第i個觀察值或與隨機項。

　　4、一元線性回歸模型的檢驗

　　(一)擬合優(yōu)度

　　反映回歸直線與樣本觀察值擬合程度的量，這個量就是擬合優(yōu)度，又稱樣本“可決系數(shù)”，常用R2表示。

　　TSS為總離差平方和，ESS為回歸平方和，RSS為殘差平方和。顯然，在總離差平方和一定時，回歸平方和越大，擬合優(yōu)度越大，映了線性回歸效果越好，說明了回歸直線和樣本觀察值擬合程度越好。

　　反之，則越差。R2的取值范圍為：0≤R2≤1，R2越接近1，擬合效果越好;R2越接近0。擬合效果越差。

　　5、、一元線性回歸分析的預測

　　在預測期內(nèi)自變量已知時，預測因變量的值，我們稱之為無條件預測，如果在預測期內(nèi)自變量未知，這時的因變量預測值就是有條件預測。

　　(一)點預測

　　設回歸模型為：yi=α+βxi+μi(i=1，2，3，…，n)。

　　假定抽樣期之外的某預測期f的自變量xf已知，上述模型適用于該預測期，這時因變 yf= α+βxf+μf ，并且隨機項滿足基本假定。則 yf 的預測值存在兩個，一個是期望值，另一個就是yf 的點預測值。

　　2.y個別值的區(qū)間預測

　　一元線性回歸時y的真實值yf的置信度為1-α的置信區(qū)間為：

　　6、案例分析

　　(一)分析目的

　　以2015年2月2日至2015年3月16日美元指數(shù)為解釋變量(x)，同期的黃金現(xiàn)貨價格(y，美元)為被解釋變量，樣本容量為31，試對其建立簡單的一元線性回歸模型。

　　(二)模型的設定

　　1.畫散點圖

　　首先將美元指數(shù)(x)和黃金現(xiàn)貨價格(Y)導入到SPSS 20.0里，然后點擊SPSS菜單欄中的“圖形一舊對話框一散點/點狀”，在彈出散點圖”對話框中，選擇“簡單分布”，再點擊“定義”按鈕，在彈出的“簡單散點圖”對話框中，將變量Y導入到“Y軸框”中，變量x導入到“x軸框”中，最后點擊“確定”按鈕，彈出圖4—1所示的散點圖。

　　從 散點圖可以看出，被解釋變量Y和解釋變量x具有較為明顯的負向相關關系。進一步，求出兩者之間的相關系數(shù)。

　　2.求相關系數(shù)

　　單擊菜單欄中的“分析一相關一雙變量”，在彈出的“雙變量相關”對話框中，將變量x、Y導人到“變量框”中，相關系數(shù)選用默認的“Pearson相關系數(shù)”，最后點擊“確定”按鈕，彈出表4-1所示的結(jié)果。

　　從表4-1的輸出結(jié)果可以看出，被解釋變量Y和解釋變量x之間的Pearson相關系數(shù)約為-0.843，且在1%的顯著性水平下拒絕相關系數(shù)為零的原假設，表明兩者的線性關系程度高。可以對其建立一元線性回歸分析。

　　將被解釋變量Y和解釋變量x建立如下的一元線性回歸模型：

　　其中，Yt和Xt分別表示被解釋變量和解釋變量，α、β表示待估計的參數(shù)。μt為隨機擾動項，反映了除解釋變量Xt和被解釋變量Yt之間的線性關系之外的隨機因素對被解釋變量Yt的影響，是不能由xt和Yt之間的線性關系所解釋的變異部分。

　　3.參數(shù)估計

　　點擊“分析一回歸一線性”，在彈出的“線性回歸”對話框中，將x導入到“自變量”框中，將變量Y導入到“因變量”框中，最后點擊 “確定”按鈕，得到如下表4-2~表4-4所示的輸出結(jié)果。

　　根據(jù)上述輸出結(jié)果，得出如下參數(shù)估計：

　　4.模型的檢驗

　　(1)擬合優(yōu)度檢驗。

　　由表4-2可以看出，可決系數(shù)R2約等于0.711，說明所建立的一元線性回歸模型整體上對樣本數(shù)據(jù)擬合效果較好，解釋變量“美元指數(shù)”解釋了被解釋變量“黃金現(xiàn)貨價格”變動的71.1%。

　　(2)回歸模型的預測。

　　當2015年3月17日美元指數(shù)為99.66，根據(jù)上述模型估計結(jié)果，預測2015年3月17日黃金現(xiàn)貨價格為多少美元?(把99.66帶入前面得到的回歸方程中即可。)

　　九、多元線性回歸模型的含義和特征

　　1、多元線性回歸模型的含義

　　多元線性回歸主要用于分析影響因變量的因素中，不僅涉及一個自變量，可能涉及多個自變量。

　　例如，我們在分析一家公眾公司價值時，需要研究其多個財務指標，比如負債比例，資產(chǎn)回報率等指標序列(每個月指標)，這些指標構(gòu)成公司價值(序列)的核心影響因素，我們定義公司價值(序列)為因變量時，這些財務指標(序列)就是自變量。

　　多元線性回歸模型分析一個因變量和幾個自變量之間的關系。形式如下：

　　yi=β0+ β1x1i+ β2x2i+…+ βkxki+ui

　　其中，i=1,2，…，n;yi是x1i，x2i，…，xki 的線性部分加上隨機擾動項 ui; β0， β1， β2，…， βk 是參數(shù);隨機擾動項 ui 指的是包含在Yi中但不能被k個自變量的線性關系所解釋的變異性。

　　3、多元線性回歸模型的參數(shù)估計

　　關于多元線性回歸模型的參數(shù)估計，我們也是利用樣本數(shù)據(jù)估計未知參數(shù),從而獲得回歸模型去推斷總體。

　　同一元回歸分析模型的原理一樣，按照最小二乘準則，采用使殘差平方和最小的原則去確定樣本回歸函數(shù)。

　　4、多元線性回歸模型的檢驗

　　(一)擬合優(yōu)度

　　對于多元線性回歸模型的擬合優(yōu)度檢驗常采用多重可決系數(shù)，記為R2。它表示總離差平方和中線性回歸解釋的部分所占的比例，即

　　顯然，R2越接近于1，線性回歸模型的解釋力越強。

　　當利用R2來度量不同多元線性回歸模型的擬合優(yōu)度時，存在一個嚴重的缺點，R2的值隨著解釋變量的增多而增大，即便引入一個無關緊要的解釋變量，也會使得R2變大。

　　(二)F檢驗

　　多元線性回歸模型的F檢驗，又稱為回歸方程的顯著性檢驗或回歸模型的整體性檢驗，反映的是多元線性回歸模型中被解釋變量與所有解釋變量之間線性關系在總體上是否顯著。

　　第一步，提出假設。設原假設H0：β1= β2=…= βk=0，備擇假設H1：βj(j=1,2，…，k)不全為零。

　　第二步，構(gòu)造F統(tǒng)計量。

　　即F統(tǒng)計量服從分子自由度為k，分母自由度為n-k-1的F分布。

　　第三步，給定的著水平α，查分子自由度為k，分母自由度為n-k-1的F分布表，得臨界值Fa(k，n-k-1)。

　　第四步，根據(jù)決策準則，如果F>Fa( k，n-k-1)，則拒絕H0：β1= β2=…=βk=0的原假設，接受備擇假設H1：βj(j=1,2，…，k)不全為零，表明回歸方程線性關系顯著;若F

　　(三)t檢驗

　　與一元線性回歸分析中的t檢驗相同，t檢驗有如下4個步驟：

　　第一步，提出假設。設原假設H0：βj=0(j=1，2，…，k)，備擇假設H1：βj≠0(j=1，2，…，k)。

　　第二步，構(gòu)造t統(tǒng)計量。

　　即服從自由度為n-k-1的t分布。

　　第三步，給定顯著水平a，查自由度為n-k-1的t分布表，得臨界值tα/2(n-k-1)。

　　第四步，根據(jù)決策準則，如果|t|>ta/2(n-k-1)，則拒絕H0：βj=0(j=1,2，…，k)的原假設，接受備擇假設H1：βj≠0(j=1,2，…，k)，表明在其他解釋變量不變的情況下，解釋變量xj對被解釋變量y的影響顯著;若|t|< ta/2(n-k-1)，則不能拒絕

　　H0：βj=0(j=1,2，…，k)的原假設，表明在其他解釋變量不變的情況下，解釋變量xj對被解釋變量y的影響不顯著。

　　5、案例分析

　　(一)分析目的

　　為分析紐約原油價格(WTI)、黃金ETF持倉(噸)和美國標準普爾500指數(shù)，對黃金價格的影響，收集了2004年11月21日至2013年11月24日每周末的周度數(shù)據(jù)，樣本容量為471，試對其進行多元線性回歸分析。

　　(二)模型設定

　　取黃金期貨價格為因變量，紐約原油價格(美元/桶)、黃金ETF持有量(噸)、美國標準普爾500指數(shù)為自變量。

　　首先對變量取對數(shù)，建立多元線性回歸模型為：

　　其中，變量依次分別為黃金期貨價格(GOLD)(美元/盎司)、紐約原油價格(WTT)、黃金ETF持有量(噸)和美國標準普爾500指數(shù)各自取對數(shù);β0、β1、β2和β3為待估計的參數(shù);μt為隨機擾動項，包含在因變量中但不能被3個自變量的線性關系所解釋的變異性。

　　(三)模型的估計

　　同一元線性回歸分析中的SPSS操作步驟一樣，首先將變量“Ln_GOLD、Ln_WTI、Ln_ETF、Ln_SP500”數(shù)據(jù)導入到SPSS中，采用普通最小二乘法，最終得到如下輸出結(jié)果(見表4-5~表4-7)

　　2.F檢驗

　　針對H0：β1=β2=β3=0，根據(jù)表4-6中的F值所對應的Sig.值等于0.000<0.05，表明在5%的顯著性水平下拒絕原假設。

　　說明回歸方程線性關系顯著，表明“紐約原油價格”、“黃金ETF持有量”和“美國標準普爾500指數(shù)”聯(lián)合起來對“黃金期貨價格”產(chǎn)生顯著的影響。

　　3.t檢驗

　　分別針對H0：βj=0(j=1，2，3)，給定顯著性水平α=0.05，從表4-7中可以看出βj樣本的t統(tǒng)計量值所對應的Sig.值均為0.000<0.05，表明在5%的顯著性水平下拒絕原假設，各回歸系數(shù)均通過顯著性檢驗，

　　也就是說，當其他解釋變量保持不變的情況下，解釋變量“紐約原油價格”、“黃金ETF持有量”和“美國標準普爾500指數(shù)’，分別對被解釋變量“黃金期貨價格”均有顯著的影響。

　　(五)模型的應用

　　1.回歸系數(shù)的含義

　　從模型估計結(jié)果可以得出，在假定其他條件保持不變的情況下，當紐約原油價格每提高1%時，黃金價格平均提高0.193%;當黃金ETF持有量每增加1%時，黃金價格平均提高0.555%;當美國標準普爾500指數(shù)每提高1%時，黃金價格平均提高0.329%。

　　2.模型的預測

　　利用以上回歸模型對黃金價格做出預測。

　　對于各自變量給出預測假設：原油價格為50美元桶，黃金ETF持有量為700噸，美國標準普爾500指數(shù)為1 800點，將其代入模型，得到紐約黃金價格的預測值約為990.832美元/盎司。

　　十、非線性模型線性化的原理

　　變量y與x之間可能不存在線性關系，有一部分可以通過變量的替換，轉(zhuǎn)化為線性的回歸模型處理。

　　線性關系只是要求參數(shù)和隨機擾動項是線性的，而并不要求變量之間是線性關系。

　　例如：y=α+β / X+ε ,只要將z=1/x代入變換即可線性化。

　　十一、回歸模型常見問題和處理方法

　　在經(jīng)濟和金融實務中，常常出現(xiàn)數(shù)據(jù)不能滿足線性模型的系列假定，比如隨機擾動項不能滿足同方差的假定，或產(chǎn)生自相關現(xiàn)象等。為此，需要對模型遇到的該類問題做技術處理。

　　1、多重共線性

　　(1)多重共線性概念與產(chǎn)生原因

　　在經(jīng)典多元線性回歸模型

　　yi=β0+ β1x1i+ β2x2i+… βkxki+ui

　　或用矩陣表示：Y= βX+U 中，其基本假設之一是解釋變量之間不存在線性關系。

　　如果解釋變量之間存在嚴格或者近似的線性關系，這就產(chǎn)生了多重共線性問題。

　　產(chǎn)生多重共線性的原因復雜，一般常見原因有：

　　(1)經(jīng)濟變量之間有相同或者相反的變化趨勢;

　　(2)模型中包含有滯后變量;

　　(3)從總體中取樣受到限制等。

　　(2)多重共線性后果

　　1)多重共線性使得參數(shù)估計值不穩(wěn)定，并對于樣本非常敏感;

　　2)使得參數(shù)估計值的方差增大;

　　3)由于參數(shù)估計值的方差增大，會導致參數(shù)估計置信區(qū)間增大，從而降低預測精度;

　　4)嚴重的多重共線性發(fā)生時，模型的檢驗容易做出錯誤的判斷。例如，參數(shù)估計方差增大，導致對于參數(shù)進行顯著性t檢驗時，會增大不拒絕原假設的可能性。

　　(3)多重共線性檢驗

　　1)簡單相關系數(shù)檢驗法。

　　通過求出解釋變量之間的簡單相關系數(shù)r作出判斷，通常情況下，若l r l接近1，則可以認為多重共線性的程度越高。

　　2)綜合統(tǒng)計檢驗法。

　　采用最小二乘原理進行參數(shù)估計時，當出現(xiàn)可決系數(shù)R2較大，模型參數(shù)的聯(lián)合檢驗(F檢驗)顯著性明顯，但單個參數(shù)的t檢驗可能不顯著，甚至可能得出估計的回歸系數(shù)與實際的符號相反的結(jié)論時，可以認為模型存在多重共線性問題。

　　(4)消除多重共線性影響的方法

　　1)逐步回歸法。

　　以Y為被解釋變量，逐個引入解釋變量，構(gòu)成回歸模型，進行模型估計。根據(jù)擬合優(yōu)度的變化以及結(jié)合F檢驗和t檢驗的顯著性決定是否保留新引入的變量。

　　如果新引入了變量后使得F檢驗和t檢驗均顯著，并且增加了擬合優(yōu)度，則說明新引入的變量是一個獨立解釋變量，可考慮在模型中保留該變量;

　　如果新引入的變量未能明顯改進擬合優(yōu)度值，或者F檢驗和t檢驗出現(xiàn)了不顯著現(xiàn)象，則說明新引入的變量與其他變量之間存在共線性。

　　使用逐步回歸法找出引起多重共線性的解釋變量，將其剔除。最后保留在模型中的解釋變量對被解釋變量具有較好的解釋作用。

　　需要注意的是，逐步回歸法有可能會剔除掉重要的解釋變量從而導致模型產(chǎn)生設定偏誤。

　　2)變換模型的形式。

　　通過將原模型作適當?shù)淖儞Q，可能會消除或減弱原模型中的解釋變量之間的相關性，例如，可以將原模型：yi=β0+ β1x1i+ β2x2i+… +βkxki+ui

　　變化為差分模型：

　　△yi=β1△x1i+ β2△x2i+…+βk△xki+△ui

　　這樣可以有效地消除原模型中存在的多重共線性。

　　3)增加樣本容量。

　　多重共線性的主要后果是參數(shù)估計量具有較大的方差，所以采取適當方法減小參數(shù)估計量的方差，雖然沒有消除模型中的多重共線性，但確能消除多重共線性造成的后果。

　　增加樣本容量，可使參數(shù)估計量的方差和標準誤差減少，因此，盡可能增加樣本容量，使樣本容量遠大于解釋變量的個數(shù)，從而改進模型參數(shù)的估計。

　　4)嶺回歸法。

　　嶺回歸(ridge regression)是一種專用于共線性數(shù)據(jù)分析的有偏估計回歸方法，實質(zhì)上是一種改良的最小二乘估計法，通過放棄最小二乘法的無偏性，以損失部分信息、降低精度為代價獲得回歸系數(shù)更為符合實際、更可靠的回歸方法，對病態(tài)數(shù)據(jù)的擬合要強于最小二乘法。

　　散點圖中顯示了不同類型的異方差與同方差之間的差異。

　　(2)異方差產(chǎn)生的原因

　　(1)模型的設定問題。在模型的設定過程中，省略了重要解釋變量，或者由于變量之間本為非線性關系而設定為線性關系從而導致異方差的產(chǎn)生。

　　(2)測量誤差。由于觀測解釋變量和被解釋變量出現(xiàn)了偏誤而產(chǎn)生了異方差。

　　(3)橫截面數(shù)據(jù)中各單位的差異。由于同一時點不同對象的差異通常會大于同一對象不同時間上的差異，因此橫截面數(shù)據(jù)比時間序列數(shù)據(jù)更容易產(chǎn)生異方差。

　　(3)異方差的后果

　　計量經(jīng)濟學模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計模型參數(shù)，會產(chǎn)生下列不良后果：(1)OLS估計量仍然具有無偏性，但OLS估計的方差不再是最小的。

　　(2)顯著性檢驗失去意義。

　　(3)模型的預測失效。當模型出現(xiàn)異方差性時，參數(shù)OLS估計值的變異程度增大，從而造成對被解釋變量Y的預測誤差變大，降低預測精度，預測功能失效。

　　(4)異方差的檢驗方法

　　1)圖示判斷法。

　　異方差的檢驗方法很多，可以通過散點圖做出直觀判斷，還可以利用X-e2殘差圖判斷異方差性，看是否形成一斜率零的直線，作為判斷基礎。

　　2)統(tǒng)計檢驗方法。

　　檢驗異方差的方法很多，常用的方法有帕克(Park)檢驗與戈里瑟(Gleiser)檢驗、戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(G-Q檢驗)、懷特(White)檢驗、ARCH檢驗等。

　　(2)異方差問題的處理

　　當模型檢驗出存在異方差性時，常用加權最小二乘法(WLS)進行估計。

　　其基本思想為：加權最小二乘法是對原模型加權，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計其參數(shù)，現(xiàn)在常用的統(tǒng)計或者數(shù)學計算軟件均支持該算法。

　　除此之外，還可以對模型進行對數(shù)變換，即將解釋變量和被解釋變量分別取對數(shù)后，再做OLS估計，這樣通常可以降低異方差性的影響。

　　3、序列相關性問題

　　(1)序列相關概念及后果

　　對于回歸模型Y=XB+U，基本假設之一是隨機誤差項互不相關，如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間存在某種相關性，則出現(xiàn)序列相關性。其他條件不變時，序列相關性表示

　　Cov(μi，uj)≠(i，j)。常見的自相關為一階自相關，其表示形式為：ui=pui-1+vi，

　　其中，ρ為自相關系數(shù)，通常-1

　　若模型出現(xiàn)序列相關性，仍采用OLS估計模型參數(shù)，則會產(chǎn)生下列不良后果：

　　(1)參數(shù)估計量的線性和無偏性雖不受影響，但是參數(shù)估計量失去有效性;

　　(2)模型的顯著性檢驗失去意義;

　　(3)模型的預測失效。

　　(2)序列相關的檢驗

　　序列相關性檢驗方法有多種，但基本思路相同：首先采用OLS對模型做估計，獲得隨機誤差項的估計量。再通過分析這些估計量之間的相關性，以判斷隨機誤差項是否具有序列相關性。

　　常用的序列相關性檢驗的方法有：圖示檢驗法、回歸檢驗法、杜賓 一瓦森(Durbin—Watson)檢驗法、拉格朗日乘數(shù)(Lagrange Muhiplier)檢驗等，

　　圖示法簡單，回歸檢驗法可以滿足任何類型序列相關性檢驗，拉格朗日乘數(shù)檢驗適用于高階序列相關以及模型中存在滯后被解釋變量的情形。但是較多使用的是杜賓一瓦森檢驗(DW檢驗)。

　　2)DW檢驗。

　　該檢驗假設條件為解釋變量x為非隨機變量，隨機擾動項滿足下述一階自回歸形式：

　　μi=ρμi-1+vi，并且回歸模型中不應含有滯后因變量作為解釋變量，且回歸模型含有不為零的截距項。

　　DW檢驗具體步驟如下：

　　第一步，計算DW值;

　　第二步，給定顯著性水平α，由樣本容量n和解釋變量的個數(shù)k(不包含常數(shù)項)的值查DW分布表，得臨界值下限dL和上限dU;

　　第三步，判斷是否存在自相關性。當DW值在2附近時，模型不存在階自相關。當DW為其他數(shù)值時，需要查表比較。

　　(3)消除自相關影響方法

　　若模型經(jīng)檢驗證明存在序列相關性，則常采用廣義差分法、一階差分法、科克倫一奧克特迭代法和德賓兩步法等方法估計模型。

　　第四部分 時間序列分析

　　十二、時間序列的基本概念

　　1、隨機過程

　　隨機變量按照時間的先后順序排列的集合叫隨機過程。

　　設Y為一個隨機變量，若Y為連續(xù)型的隨機變量，記為Y(t);若是離散型的隨機變量，記為Yt。

　　若一個隨機過程的均值和方差不隨時間的改變而改變，且在任何兩期之間的協(xié)方差值僅依賴于兩期的距離或滯后的長度，而不依賴于時間，這樣的隨機過程稱為平穩(wěn)性隨機過程。反之，稱為非平穩(wěn)隨機過程。

　　3、平穩(wěn)和非平穩(wěn)時間序列

　　時間序列的統(tǒng)計特征不會隨著時間的變化而變化，即反映統(tǒng)計特征的均值、方差和協(xié)方差等均不隨時間的改變而改變，稱為平穩(wěn)時間序列;反之，稱為非平穩(wěn)時間序列。

　　4、單整

　　如果非平穩(wěn)序列{yt}，通過d次差分成為一個平穩(wěn)序列，而這個序列的d-1次差分序列是不平穩(wěn)的，那么稱序列{yt}為d階單整序列，記為yt～I(d)。

　　例如，當d=1時，yt～I(1)表示經(jīng)過一次差分就可變成平穩(wěn)序列。

　　特別地，如果序列{yt}本身是平穩(wěn)的，則稱為零階單整序列，記為yt~I(0)。

　　5、非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列

　　(1)差分平穩(wěn)過程。

　　若一個時間序列滿足1階單整，即原序列非平穩(wěn)，通過1階差分即可變?yōu)槠椒€(wěn)列;

　　(2)趨勢平穩(wěn)過程。

　　有些時間序列在其趨勢線上是平穩(wěn)的，因此，將該時間序列對時間做回歸，回歸后的殘差項將是平穩(wěn)的。

　　十三、平穩(wěn)時間序列

　　1、移動平均(MA)過程

　　(1)MA(q)的基本概念

　　2、自回歸(AR)過程

　　(1)AR(P)的基本概念。

　　P階自回歸過程可表示為：

　　yt=C+?1yt-1+?2yt-2...+?pyt-p+εt

　　我們把它記為AR(p)。

　　3、ARMA模型。

　　實際上AR模型和MA模型都是自回歸移動平均過程的特例。階數(shù)為(p，q)的自回歸移動平均過程可表示為：

　　利用滯后算子可以很容易證明ARMA(p，q)過程是平穩(wěn)　的。ARMA模型的估計需要使用非線性估計方法，實務中常使用數(shù)學軟件進行估計。

　　十四、非平穩(wěn)時間序列

　　1、ARIMA模型

　　作差分是把非平穩(wěn)過程轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)過程常用的方法。

　　如果上述模型中xt是一個ARMA(P，q)過程，那么我們稱上述模型的Yt是一個自回歸融合移動平均過程

　　(Autoregressive—Integrated Moving-Average process),記為ARIMA(p，1，q)。如果xt是Yt經(jīng)過d階差分后的一個ARMA(p,q)過程，那么yt是一個ARIMA(p,d,q)。

　　2、非平穩(wěn)序列的單位根檢驗

　　檢驗時間序列的平穩(wěn)性方法通常采用單位根檢驗，常用的單位根檢驗方法有DF檢驗(Dickey—Fuller Test)和ADF檢驗(Augment Dickey—Fuller Test)。

　　DF檢驗的原假設為：H0：?=1，若拒絕原假設，則所檢驗序列不存在單位根，為平穩(wěn)性時間序列;若不拒絕原假設，則所檢驗序列存在單位根，為非平穩(wěn)時間序列。

　　(2)ADF檢驗

　　DF檢驗存在一個問題：當序列存在1階滯后相關時才有效，但大多數(shù)時間序列存在高級滯后相關，直接使用DF檢驗法會出現(xiàn)偏誤。

　　在這種情況下,人們將原DF檢驗方法進行了拓展，拓展為增廣的DF檢驗(Augmented Dickey—Fuller Test)，簡稱為ADF檢驗，該方法可以用來檢驗含有高階序列相關的序列是否平穩(wěn)性問題。

　　ADF檢驗的三種模型形式：

　　其檢驗的原假設仍為H0：λ=0，即當拒絕原假設，表明序列不存在單位根，為平穩(wěn)性時間序列;不拒絕原假設，表明序列存在單位根，為非平穩(wěn)性時間序列。

　　十五、協(xié)整分析和誤差修正模型

　　1、協(xié)整

　　協(xié)整指的是多個非平穩(wěn)性時間序列的某種線性組合是平穩(wěn)的。

　　某些時間序列是非平穩(wěn)時間序列，但他們之間卻往往存在長期的均衡關系，具體來講，對于兩個時間序列均{xt}和{yt}為一階單整序列，即xt~I(1)，yt~I(1)，若存在一組非零常數(shù) a0和a1，使得a1x1+a2y2~I(0)則稱xt和Yt之間存在協(xié)整關系。

　　2、誤差修正模型

　　傳統(tǒng)的經(jīng)濟模型通常表述的是變量之間的一種“長期均衡”關系，而實際經(jīng)濟數(shù)據(jù)卻是由“非均衡過程”生成的。

　　因此，建模時需要用數(shù)據(jù)的動態(tài)非均衡過程來逼近經(jīng)濟理論的長期均衡過程，于是產(chǎn)生了誤差修正模型(Error Correction Model)。

　　誤差修正模型基本思想是，若變量問存在協(xié)整關系，則表明這些變量問存在著長期均衡關系，而這種長期均衡關系是在短期波動過程中的不斷調(diào)整下得以實現(xiàn)的。

　　由于大多數(shù)金融時間序列的一階差分是平穩(wěn)序列，受長期均衡關系的支配，這些變量的某些線性組合也可能是平穩(wěn)的。

　　即所研究變量中的各長期分量相互抵消，產(chǎn)生了一個平穩(wěn)的時間序列，這是由于一種調(diào)節(jié)機制——所謂的誤差修正機制在起作用，它防止了長期均衡關系出現(xiàn)較大的偏差。因此，任何一組相互協(xié)整的時間序列變量都存在誤差修正機制，通過短期調(diào)節(jié)行為，達到變量間長期均衡關系的存在。

　　4、案例分析

　　(1)分析目的

　　根據(jù)某地區(qū)1950～1990年的人均食物年支出和人均年生活費收入月度數(shù)據(jù)，判斷該兩組時間序列的平穩(wěn)性，檢驗食物支出和生活費收入之間的Grange因果關系，從長期看，判斷兩者是否存在協(xié)整關系?從短期看，判斷是否存在誤差修正機制?

　　(2)操作步驟

　　第一步，首先，將人均食品支出和人均年生活費收入消除物價變動的影響，得到實際人均年食品支出(Y)，和實際人均年生活費收入(X)，再對Y和X分別取對數(shù)，記Y=lnY，x=lnX。

　　第二步，分別將變量x，y序列導入到Eviews 中，打開“series：x(或Series：Y)”對話框，點擊“View—Unit Root Test”，彈出Unit Root Test”對話框，在“Test Type”下面選擇采用

　　默認的“Augmented Dickey—Fuller”;通過觀察x、Y的序列圖得出兩者均呈現(xiàn)明顯的上升趨勢，所以在“Include in Test Equation”下面選擇

　　Trend and Intercept”;在“Test for Unit Root in”下面選擇“Level”：在“Lagged Difference”下面將數(shù)值改為“2”，再點擊OK鍵，最后彈出單位根檢驗結(jié)果。

　　單位根檢驗回歸方程設定(水平變量)

　　表4-10和表4-11可以看出，x和Y序列的ADF檢驗統(tǒng)計量值均大于在1%、5%和10%顯著性水平下的臨界值，表明x和Y序列均為非平穩(wěn)性時間序列。

　　第三步，再分別對x和Y序列作1階差分得△x和△y序列，對其進行平穩(wěn)性檢驗。

　　從表4-12和表4-13可以看出，x和△y序列的單位根檢驗統(tǒng)計量值分別約為-3.5586和-2.7080，均大于1%顯著性水平下的l臨界值-3.6171，小于10%顯著性水平下的臨界值-2.6092，表明1階差分后的x和Y序列在10%的顯著性水平均為平穩(wěn)性時間序列，即x和Y序列均為1階單整序列。

　　第四步 Granger因果關系檢驗

　　第五步 將取對數(shù)后的人均食品支出(y)作為被解釋變量，對數(shù)化后的人均年生活費收入(x)作為解釋變量，用普通最小二乘乘法估計回歸模型。

　　估計模型為：

　　yt=-0.0768+0.9121xt+et

　　第六步，在Eviews 命令窗口中，輸入“Genr et = resid”，將上述OLS回歸得到的殘差序列命名為新序列et，然后雙擊et序列，對et進行單位根檢驗，其檢驗輸出結(jié)果見表4-19。

　　殘差序列et的ADF檢驗統(tǒng)計量值約為-4.0345，均小于1%、5%和10%顯著性水平下的臨界值，拒絕存在單位根檢驗的原假設，表明殘差序列是一個平穩(wěn)性時間序列，說明對數(shù)化后的實際人均年食品支出Y和實際人均年生活費收入x之間存在協(xié)整關系。

　　第七步，用△y作為被解釋變量，△x和ecmt-1(為et序列的滯后項)作為解釋變量，做OLS線性回歸。

　　該誤差修正模型的估計結(jié)果為：

　　上式估計結(jié)果表明，城鎮(zhèn)居民月人均食物支出的變化不僅取決于人均年生活費收入的變化，還取決于上一期食物支出對均衡水平的偏離。

　　誤差系數(shù)ecmt-1的估計值為-0.6582，體現(xiàn)了對偏離的修正，上一期偏離越遠，本期修正的量就越大，即系統(tǒng)存在誤差修正機制。

　　第五部分 常用統(tǒng)計軟件及應用

　　十六、 常用統(tǒng)計軟件

　　1、SAS

　　SAS是目前國際上最為流行的一種大型統(tǒng)計分析系統(tǒng)，被譽為統(tǒng)計分析的標準軟件。

　　盡管價格不菲，SAS已被廣泛應用于政府行政管理、科研、教育、生產(chǎn)和金融等不同領域，并且發(fā)揮著愈來愈重要的作用。

　　2、SPSS

　　SPSS作為僅次于SAS的統(tǒng)計軟件工具包，在社會科學領域有著廣泛的應用。

　　SPSS是世界上最早的統(tǒng)計分析軟件，由美國斯坦福大學的三位研究生于20世紀60年代末研制。

　　由于SPSS容易操作，輸出漂亮，功能齊全，價格合理，所以很快地應用于自然科學、技術科學、社會科學的各個領域。

　　3、Excel

　　它嚴格說來并不是統(tǒng)計軟件，但作為數(shù)據(jù)表格軟件，必然有一定的統(tǒng)計計算功能。凡是有Microsoft Office的計算機，基本上都裝有Excel。但要注意，有時在裝0ffice時沒有裝數(shù)據(jù)分析的功能，那就必須裝了才行。

　　4、Minitab

　　Minitab提供對存儲在二維工作表中的數(shù)據(jù)進行分析的多種功能，包括：基本統(tǒng)計分析、回歸分析、方差分析、多元分析、非參數(shù)分析、時間序列分析、試驗設計、質(zhì)量控制、模擬、繪制高質(zhì)量三維圖形等。

　　從功能來看，Minitab除各種統(tǒng)計模型外，還具有許多統(tǒng)計軟件不具備的功能——矩陣運算。

　　5、 Eviews

　　Eviews是專門從事數(shù)據(jù)分析、回歸分析和預測的工具。使用Eviews可以迅速地從數(shù)據(jù)中尋找出統(tǒng)計關系，并用得到的關系去預測數(shù)據(jù)的未來值。

　　應用范圍包括：科學實驗數(shù)據(jù)分析與評估、金融分析、宏觀經(jīng)濟預測、仿真、銷售預測和成本分析等。

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